ECE2050-Chapter3 - Cr's Blog

ECE 2050 数字逻辑与系统 - 第三章自学讲义：逻辑门#

复习#

在深入学习逻辑门之前，让我们先回顾一下上周学习的核心概念。这些是理解本章内容的基础：

进制系统: R进制、十进制、二进制、八进制和十六进制。
数值转换: 不同进制之间的转换方法。
二进制运算: 包括算术运算。
有符号数与补码: 如何在二进制中表示正负数。
定点数与浮点数: 表示小数的两种方式。
编码: BCD码、格雷码以及用于检测错误的错误码。

第一部分：逻辑门基础 (Abstract Logic)#

1.1 什么是逻辑门？#

逻辑门是数字电路的基本构建模块。可以将其理解为执行基本逻辑功能的电子开关。

核心功能: 执行逻辑运算，如反相(NOT)、与(AND)、或(OR)、与非(NAND)、**或非(NOR)**等。
按输入数量分类:
- 单输入门: 仅接收一个输入信号，如 NOT门 (逆变器) 和 缓冲器 (Buffer)。
- 双输入/多输入门: 接收两个或更多输入信号，如 AND, OR, XOR, NAND, NOR, XNOR 门。

1.2 详解各类逻辑门#

1. 逆变器 (The Inverter / NOT Gate)#

逆变器是最简单的逻辑门，它的功能是“反转”输入信号。

逻辑表达式: X = A (读作 X 等于 A非)
真值表 (Truth Table): 显示所有可能的输入和对应的输出。
输入 (A) 输出 (X)
LOW (0) HIGH (1)
HIGH (1) LOW (0)
时序图 (Timing Diagram): 以图形方式展示输入和输出信号随时间变化的关系。从下图中可以看出，输出信号(Output)的波形总是与输入信号(Input)的波形相反。

输入 (A)	输出 (X)
LOW (0)	HIGH (1)
HIGH (1)	LOW (0)

2. 缓冲器 (The Buffer / BUF Gate)#

缓冲器的输出与输入完全相同。它不执行任何逻辑运算，但可以增强信号驱动能力。

逻辑表达式: Y = A
真值表:
输入 (A) 输出 (Y)
0 0
1 1

输入 (A)	输出 (Y)
0	0
1	1

3. 与门 (The AND Gate)#

当所有输入都为高电平(1)时，输出才为高电平(1)；否则输出为低电平(0)。

逻辑表达式: X = A · B 或 X = AB
真值表 (2输入): 对于n个输入的AND门，有 2^n 种输入组合。
输入A 输入B 输出X (A·B)
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
时序图: 只有当输入A和输入B的信号同时为HIGH时，输出X的信号才为HIGH。

输入A	输入B	输出X (A·B)
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

4. 或门 (The OR Gate)#

当任何一个输入为高电平(1)时，输出就为高电平(1)；只有所有输入都为低电平(0)时，输出才为低电平(0)。

逻辑表达式: X = A + B
真值表 (2输入):
输入A 输入B 输出X (A+B)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
时序图: 只要输入A、B、C中至少有一个为HIGH，输出X就为HIGH。

输入A	输入B	输出X (A+B)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

5. 与非门 (The NAND Gate)#

NAND可以看作是AND（与）和NOT（非）的组合。它的输出与AND门正好相反。

逻辑表达式: X = AB。根据德摩根定律，它也等价于 A + B。
真值表 (2输入):
输入A 输入B 输出X
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
等效电路: 一个NAND门等效于一个负-或门 (Negative-OR)。这意味着，当所有输入都经过反相后再进行OR运算，其结果与NAND门相同。
- 如何证明？ 你可以通过列出 A + B 的真值表来验证它是否与 AB 的真值表完全相同。

输入A	输入B	输出X
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

6. 或非门 (The NOR Gate)#

NOR可以看作是OR（或）和NOT（非）的组合。它的输出与OR门正好相反。

逻辑表达式: X = A + B。根据德摩根定律，它也等价于 A · B。
真值表 (2输入):
输入A 输入B 输出X
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
等效电路: 一个NOR门等效于一个负-与门 (Negative-AND)。

输入A	输入B	输出X
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

7. 异或门 (XOR) 与同或门 (XNOR)#

异或门 (Exclusive-OR, XOR): 当两个输入不相同时，输出为1；当两个输入相同时，输出为0。
- 逻辑表达式: Y = A ⊕ B
- 真值表 (2输入):
  输入A 输入B 输出Y
  0 0 0
  0 1 1
  1 0 1
  1 1 0
同或门 (Exclusive-NOR, XNOR): 它是XOR的反相。当两个输入相同时，输出为1；当两个输入不相同时，输出为0。
- 逻辑表达式: Y = A ⊕ B
- 真值表 (2输入):
  输入A 输入B 输出Y
  0 0 1
  0 1 0
  1 0 0
  1 1 1

输入A	输入B	输出Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

输入A	输入B	输出Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

1.3 逻辑门的应用与总结#

XOR门的应用：二进制加法#

一个XOR门可以用来计算两个二进制位的和（不考虑进位）。

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 (和为0，产生一个进位位)

双输入逻辑门总览#

这张图总结了所有基本的双输入逻辑门，包括它们的电路符号、逻辑表达式和真值表，非常适合复习和记忆。

多输入逻辑门#

AND3 (3输入与门): Y = ABC。只有当A, B, C全部为1时，Y才为1。
NOR3 (3输入或非门): Y = A+B+C。只有当A, B, C全部为0时，Y才为1。
多输入XOR门 (奇偶校验):
- 其功能是奇校验 (Odd Parity)。
- 当输入中有奇数个1时，输出为1。
- 当输入中有偶数个1时，输出为0。

历史背景：布尔代数的奠基人#

乔治·布尔 (George Boole, 1815-1864)

一位自学成才的英国数学家和逻辑学家。
他在1854年发表了《思维规律的研究》一书，奠定了符号逻辑的基础。
他引入了二进制变量（只能取两个值，如0和1），并定义了三个基本的逻辑运算：AND, OR, 和 NOT。
他的理论（布尔代G数）成为了现代数字计算机设计的数学基石。

第二部分：数字逻辑的物理实现 (Physical Implementation)#

2.1 逻辑电平 (Logic Levels)#

在真实的电路中，抽象的“0”和“1”是由具体的电压水平来表示的。

离散电压: 例如，我们约定：
- 0 对应 0伏特 (GND, 地线)
- 1 对应 5伏特 (VDD, 电源电压)
现实问题: 电压不总是精确的。比如4.99伏特是0还是1？3.2伏特呢？为了解决这个问题，电路设计中不使用单个电压值，而是使用电压范围。

2.2 噪声与噪声容限 (Noise and Noise Margins)#

什么是噪声 (Noise)?
- 任何会使信号劣化的因素都可称为噪声。例如：导线电阻、电源波动、邻近信号线的电磁耦合等。
- 例子: 一个驱动门(Driver)输出5V信号，但由于长导线的电阻，接收门(Receiver)只收到了4.5V。这0.5V的电压损失就是噪声。
静态规程 (The Static Discipline):
- 这是一条重要的设计原则：对于任何合法的逻辑输入，每个电路元件都必须产生合法的逻辑输出。
- 为了实现这一点，我们使用限定的电压范围来表示离散值，并为输入和输出设定不同的范围以抵抗噪声。
噪声容限 (Noise Margins):
- 这是衡量一个数字电路抵抗噪声能力的关键指标。
- 关键电压参数:
  - VOH: 输出高电平 (Output High) 的最低电压。
  - VOL: 输出低电平 (Output Low) 的最高电压。
  - VIH: 输入高电平 (Input High) 的最低电压。
  - VIL: 输入低电平 (Input Low) 的最高电压。
- 噪声容限计算:
  - 高电平噪声容限 (High Noise Margin): NMH = VOH - VIH
  - 低电平噪声容限 (Low Noise Margin): NML = VIL - VOL
- 解释: NMH 表示一个高电平信号在从VOH下降到VIH之前可以承受多大的负向噪声而不被错误识别。NML 表示一个低电平信号在从VOL上升到VIL之前可以承受多大的正向噪声而不被错误识别。容限越大，抗干扰能力越强。

(高电压) VCC ▲ | |— VOH (驱动门保证的最小高电平输出) | |---- NMH (高电平安全区) | |— VIH (接收门要求的最小高电平输入) | |---- 不确定区域 (逻辑电平未定义) | |— VIL (接收门能接受的最大低电平输入) | |---- NML (低电平安全区) | |— VOL (驱动门保证的最大低电平输出) | ▼ GND (0V)

2.3 直流传输特性 (DC Transfer Characteristics)#

理想缓冲器: 电压转换是瞬时发生的。当输入电压超过VDD/2时，输出立即从0跳变到VDD。其噪声容限为 VDD/2。
真实缓冲器: 电压转换有一个过渡区。VIH和VIL通常定义在过渡区中增益（斜率）为-1的点。由于这个过渡区的存在，真实的噪声容限 NMH 和 NML 总是小于 理想值 VDD/2。

特性	理想反相器	真实反相器	为什么真实值更小
过渡区	不存在，瞬时翻转	存在，平滑过渡	晶体管开关需要过程，无法瞬时完成。
VIH / VIL 定义	VIL = VIH = VDD/2	在增益=-1的点定义	为了确保逻辑电平定义在噪声被抑制的稳定区。
VOH	VDD	< VDD	真实晶体管有导通电阻和压降。
VOL	0V	> 0V	真实晶体管有导通电阻和压降。
噪声容限	NMH = NML = VDD/2	NMH < VDD/2, NML < VDD/2	过渡区的存在迫使我们将 VIH 推高、VIL 拉低，同时 VOH 和 VOL 的不完美也进一步压缩了这个“安全缓冲空间”。

因此，正是由于真实器件中过渡区的存在，以及我们为了保证电路稳定性而采用的保守的（基于单位增益的）VIH 和 VIL 定义方法，导致了真实电路的噪声容限总是小于理想值 VDD/2。这个减小的幅度，也反映了电路设计的优劣。一个设计优秀的逻辑门，其VTC曲线会更陡峭，过渡区更窄，从而拥有更大的噪声容限。

2.4 电源电压缩放 (VDD Scaling)#

历史趋势: 在1970-80年代，标准的电源电压 VDD 是5V。
现状: VDD 已经大幅下降，出现了3.3V, 2.5V, 1.8V, 1.2V, 1.0V等多种标准。
原因:
1. 保护晶体管: 随着技术发展，晶体管尺寸越来越小，过高的电压会将其“烧毁”。
2. 节省功耗: 功耗与电压的平方成正比，降低电压能显著减少能耗和发热。
注意: 在连接使用不同电源电压的芯片时必须格外小心。
趣闻: “芯片工作是因为里面有魔法烟雾。证明：如果魔法烟雾跑出来了，芯片就不工作了。” (这是一个工程师的经典笑话，意指芯片被烧坏后就无法修复。)

2.5 常见逻辑家族示例#

下表展示了几种不同逻辑电路技术（逻辑家族）的标准电压参数。可以看出，不同的技术，其VDD和噪声容限都不同。

逻辑家族	VDD (V)	VIL (V)	VIH (V)	VOL (V)	VOH (V)
TTL	5 (4.75-5.25)	0.8	2.0	0.4	2.4
CMOS	5 (4.5-6)	1.35	3.15	0.33	3.84
LVTTL	3.3 (3-3.6)	0.8	2.0	0.4	2.4
LVCMOS	3.3 (3-3.6)	0.9	1.8	0.36	2.7

章节复习与自测#

本章小结#

逻辑门:
- 学习了基本逻辑门：逆变器, AND, OR, NAND, NOR, XOR, XNOR。
- 掌握了分析工具：真值表、时序图、逻辑表达式。
- 了解了它们的标准电路符号。
逻辑电平:
- 理解了逻辑电平是用电压范围来表示的物理概念。
- 学习了噪声容限的定义和计算，它是衡量电路稳定性的重要指标。

是非题小测验 (True/False Quiz)#

逆变器执行NOT操作。
- 答案：正确 (True)。 这是逆变器的定义。
NOT门不能有多于一个的输入。
- 答案：正确 (True)。 NOT门是单输入门。
如果OR门的任何一个输入为0，则输出为0。
- 答案：错误 (False)。 只有当所有输入都为0时，OR门的输出才为0。只要有任何一个输入为1，输出就是1。
如果AND门的所有输入都为1，则输出为0。
- 答案：错误 (False)。 如果AND门的所有输入都为1，则输出为1。
一个NAND门可以被看作是一个AND门后跟一个NOT门。
- 答案：正确 (True)。 这是NAND（Not-AND）门的定义。
一个NOR门可以被看作是一个OR门后跟一个逆变器。
- 答案：正确 (True)。 这是NOR（Not-OR）门的定义。
如果异或门(XOR)的输入相反，则输出为0。
- 答案：错误 (False)。 XOR门的特性是“相异为1”。如果输入相反（一个0一个1），输出应为1。